Numerische Lösungen der Cahn-Hilliard-Gleichung und der Cahn-Larché-Gleichung

Ziel ist die Implementierung und Analyse eines effizienten numerischen Verfahrens zur Lösung der Cahn-Hilliard- und der Cahn-Larché-Gleichung. In Kapitel 2 wird das mathematische Modell detailliert beschrieben, und die Gleichungen werden hergeleitet. Zur Diskretisierung der Gleichungen des Modells bezüglich des Ortes haben wir einen Finite-Element-Ansatz gewählt. Bei der Zeitdiskretisierung lag der Schwerpunkt der Implementierung auf dem theta-Zwischenschritt-Verfahren. Daneben betrachten wir auch das implizite Euler- und das Crank-Nicholson-Verfahren zur Auflösung der Zeitableitung. Der Darstellung der Diskretisierung der Gleichungen mittels der genannten Verfahren ist das dritte Kapitel gewidmet. Im vierten Kapitel dikutieren wir einige Eigenschaften der diskretisierten Gleichungen. Das Hauptergebnis ist der Beweis der Konvergenz der diskreten Lösungen der Cahn-Larché-Gleichung gegen Lösungen der Differentialgleichung. Der Beweis lehnt sich an den Existenzbeweis von H. Garcke an. In Kapitel 5 werden wir a posteriori-Fehlerschätzer für die Cahn-Hilliard- und die Cahn-Larché-Gleichung mit homogener Elastizität herleiten. Diese lokalen Fehlerschätzer werden zur Adaption der Gitter, auf denen wir rechnen, verwendet. Die mit den beschriebenen Algorithmen erzeugten numerischen Ergebnisse sind in Kapitel 6 zusammengefasst. Dabei interessieren uns hauptsächlich die Verifikation der Algorithmen insbesondere das richtige Skalierungsverhalten, die Konvergenz von Lösungen der Cahn-Hilliard-Gleichung gegen Lösungen des Mullins-Sekerka-Modells, das Verhalten der Fehlerschätzer, die Auswirkungen der Elastizität auf Phasengrenzen und Partikelgestalt, die Vergröberungsraten und Geschwindigkeit der Evolution mit und ohne Elastizität. </ul

A Phase Field Model for Continuous Clustering on Vector Fields

A new method for the simplification of flow fields is presented. It is based on continuous clustering. A well-known physical clustering model, the Cahn Hilliard model, which describes phase separation, is modified to reflect the properties of the data to be visualized. Clusters are defined implicitly as connected components of the positivity set of a density function. An evolution equation for this function is obtained as a suitable gradient flow of an underlying anisotropic energy functional. Here, time serves as the scale parameter. The evolution is characterized by a successive coarsening of patterns-the actual clustering-during which the underlying simulation data specifies preferable pattern boundaries. We introduce specific physical quantities in the simulation to control the shape, orientation and distribution of the clusters as a function of the underlying flow field. In addition, the model is expanded, involving elastic effects. In the early stages of the evolution shear layer type representation of the flow field can thereby be generated, whereas, for later stages, the distribution of clusters can be influenced. Furthermore, we incorporate upwind ideas to give the clusters an oriented drop-shaped appearance. Here, we discuss the applicability of this new type of approach mainly for flow fields, where the cluster energy penalizes cross streamline boundaries. However, the method also carries provisions for other fields as well. The clusters can be displayed directly as a flow texture. Alternatively, the clusters can be visualized by iconic representations, which are positioned by using a skeletonization algorithm.

Multi-component Allen-Cahn equation for elastically stressed solids

The vector-valued Allen-Cahn equations are combined with elasticity where a linear stress-strain relationship is assumed. A short physical derivation of the generalised model is given and global existence and uniqueness of the solution are shown under suitable growth conditions on the nonlinearity